Tu peux faire un contrat de vente. Ce n'est pas obligatoire, mais très recommandé.
Pour le changement de propriétaire, deux cas de figures :
? le cheval à une carte de propriétaire papier. Là il suffit de remplir le dos avec l'ancien propriétaire, de signer, et de l'envoyer avec un chèque (le montant est sur le site de l'ifce) à l'ifce
? le cheval à une carte dematerialisée. Là l'ancien propriétaire va se connecter sur son compte ifce, imprimer un certificat de vente avec un numéro privé. En suite, sur ton compte ifce tu rentreras ce numéro, et le cheval sera à toi

la manip est pas forcement simple, le site est mal fichu, si tu n'y arrives pas, n'hésite pas à les appeler, ils sont très sympas.
Pour l'assurance, ton cheval doit être assurée en RCPE. Soit c'est compris dans ton assurance habitation (bien vérifier que ça fonctionne meme si le cheval ne vit pas chez toi), soit il faut la souscrire à la FFE (ou à d'autres assurances style cavalassur) pour une trentaine d'euros / an.
Tu peux faire le choix de l'assurer pour les frais vétérinaires mais ce n'est pas obligatoire. Il y a notamment cavalassur, equitanet, cheval assur, hippassur... Le prix varie suivant la valeur du cheval et les options que tu prend. Pour mon poney, assuré pour 5000 euros, je paie 450 euros par an.