Bonsoir,
Le genévrier sabine est toxique (diarrhées, tremblements, avortement chez la jument, etc). Mais je ne crois pas que les baies du genévrier commun en tout cas soient toxiques, puisqu’on en retrouve dans certains produits alimentaires pour les chevaux (mélangés à d’autres plantes en petites quantités).

Après s’ils s’en « gavent » comme tu dis, c’est une autre question…
À vérifier tout de même.
Genévrier c’est une famille d’arbre (en l’occurrence de conifère) et non pas un arbre a proprement parlé. Il existe plusieurs genévriers.
Ça peut être dû à un manque d’herbe ou de fibre s’ils se jettent dessus (simple supposition bien entendu).