Lors de l'achat le vendeur doit te remettre le carnet d'accompagnement du cheval (= livret d'identification et carnet de vaccinations) qui doit dans tous les cas suivre le cheval où qu'il soit (sur son lieu d'hébergement, sur un concours, une rando etc) ET la carte de propriétaire (= carte d'immatriculation). C'est obligatoire, c'est la loi. Ce n'est pas toi qui l'as perdue, ce n'est donc pas à toi de refaire faire ce document.
Une fois que l'ancien proprio aura fait établir le duplicata à ses frais, il te le confiera pour que tu puisses enfin faire le changement de nom pour 10€.
C'est arrivé à ma belle mère en aout 2009 : elle achète un cheval à un "intermédiaire" qui nous dit que la carte est aux HN pour le changement à son nom et qu'il lui transmettra dès qu'il l'aura reçue. Le temps passe et toujours pas de carte, on le relance régulièrement, et la version change à chaque fois: c'est l'ancienne proprio qui l'a gardée et ne me la rends pas, c'est les HN qui l'ont perdue etc etc, et au final il ne répondait plus à nos appels
Au final ça s'est terminé qu'on a déposé une main courante contre lui auprès de la gendarmerie, on l'en a informé par courrier recommandé. Comme par hasard quelques semaines plus tard, ma belle-mère recevait le duplicata, contre-signé afin qu'elle puisse faire le changement de nom.
Je pense pas que tu en auras à aller jusque là mais au pire, propose de faire moitié-moitié si après avoir insisté ils ne veulent pas payer le duplicata.
Bonne chance