Le "de xxx" c'est généralement le nom de l'élevage.
J'avais zieuté quelques beaux chevaux de sport, dont un élevage, par exemple, était l'élevage Chavannais ; donc tous les chevaux s'appellaient comme ça (Rackel Chavannaise, Azimut Chavannais, Chopin Chavannais...)
Idem pour tous les Faux Miroirs de CA ; Faux Miroir, c'est l'élevage.
Ensuite tu ne change pas le nom comme tu veux non, il y a des démarches à faire mais que je ne connais pas. Tu le surnomme comme tu veux, mais sur les papiers il garde son nom. Du coup si ton cheval s'appelle Cornichon, le jour ou t'arrive en concours, on va annoncer "[ton nom] et Cornichon", même si dans la vie de tous les jours il a un surnom super classe, ce jour là t'auras l'air con