Le numéro correspond au diamètre. Donc si on te dit 15 mm, faut que tu prennes du 15. C'est très gros comme aiguilles, pas dit que tu en trouves partout.
Pour la longueur, c'est à toi de voir. Par exemple, je préfère prendre des 30 cm de long car ça rentre dans mon sac et pour tricoter dans le RER c'est plus pratique (je donne pas des coups d'aiguilles aux gens à coté

)
Edit : pour ce qui est de la laine, il n'y a que la Big Ribbon ou la Love Wool de chez Katia qui sont indiquées pour des aiguilles de 15.
J'ai déjà bossé la Love wool en arm knitting mais la pelote est super courte. Pour du tricotage classique, tu vas avoir besoin de pas mal de pelotes pour ton écharpe (et en plus elle me gratte, j'étais dégoutée).
L'autre je ne la connais pas, mais c'est coton + polyester donc pas de risque de grattage et la pelote fait 10m de plus.
Tu peux aussi jeté un oeil dans les laines qui se tricotent en 12, ça reste de la laine assez épaisse pour que le rendu soit sympa. Il y a un peu plus de choix, mais pour débuté je te conseille de la laine lisse (évite les froufrous ou pompons !)
Il y a la Artico qui est sympa comme tout, pour débuter elle est super facile. Elle tient bien, se dédouble pas ... J'en ai plusieurs pelotes chez moi.
La washi a l'air marrante, je ne l'ai jamais essayé mais elle me tente bien ^^