Il n'y a aucun problème pour l'enregistrer, c'est loin d’être un cas unique.
Tu as tout qui est expliqué là:
https://www.ifce.fr/ifce/sire-demarches/au-cours-de-la-vie-du-cheval/equide-dorigine-non-constatee-onc/
Avec le SIRE, la visite veto et la pose de la puce, ça te coûtera entre 150 et 200€. Demande un document de cession a la dame. Mais en France, si un animal n'est pas identifié, il n'a pas de proprio. Il appartient a celui qui le met a son nom. Donc si le veto confirme l'absence de puce, tu mets la puce a ton nom et le cheval t'appartient. Pas d'embrouille possible.
Les seuls soucis ensuite seront physique ou comportemental. mais ça, c'est pareil avec tout les chevaux.