Attention à ne pas aller trop loin: ils ne t'ont pas arrêtée, non plus. ^^ C'était "juste" un PV, ils ne t'ont pas fichée, pris tes empreintes digitales, emmenée au poste etc.
Fais attention à ce que tu mets dans ton courrier si tu veux que cela soit utile, en gros.

Si tu balances juste les trucs habituels qu'on lit partout dès qu'une personne est agacée d'un abus de pouvoir (donc en gros, ce que tu as écris sur l'arrestation arbitraire), tu vas à tous les coups jeter une plume sur Goliath.

Si le procureur veut lire ça, il va sur Facebook.
Dénonce plutôt un "abus de pouvoir" de la part de ce gendarme, le fait qu'il t'ai adressé un PV sans preuve de ton infraction, qu'il n'ai pas voulu t'écouter ni même recevoir tes explications malgré ta bonne foi... En gros, ce qui te semble injuste. Et ne fais pas de généralités, tu l'as vu ici, pas mal de proches de forces de l'ordre admettent qu'il y a des cons partout.
Mais aller balancer à un procureur "Les policiers auront toujours raison et on est du bétail bon à se faire arrêter", ça va aller à la poubelle de son assistant quand il ouvrira le courrier... Tu vas juste te défouler, mais pour ça, autant le faire auprès de tes proches (ou sur un forum.

).
Quitte à écrire au proc', autant le faire avec utilité.
Edit: pour l'analyse juridique, il n'y a pas des masses de trucs.
Déjà, plus personne ne peut prouver que ton téléphone n'avait plus de batterie Tel jour à Telle heure, en dehors d'un texto que tu aurais pu envoyer avant à quelqu'un, pour lui dire que ta batterie allait lâcher.
De plus, tu peux refuser d'obtempérer, mais là en effet, c'est directement au poste, et pour quoi faire...? Tu vas en ressortir avec une amende pour refus d'obtempérer. Donc là, tu leur donnes entièrement raison de te coller un PV.
Et puis attendre un témoin...quel témoin, tu étais seule en voiture?
Ensuite, porter plainte, je pense qu'il l'a refusé pour des questions de bon sens: je pense (aucune certitude) qu'on ne peut pas porter plainte pour un PV qu'on juge injuste. Sinon tout le monde le ferait.

Après, on peut souligner le planton qui ne veut pas se mettre contre ses collègues, mais j'en sais pas plus; c'est peut-être un petit jeune, un réserviste, un GAV qui vient de débouler et qui ne sait pas tout.
Donc côté analyse juridique...je ne sais pas ce que tu ressors de cette histoire, mais à première vue il n'y a pas des masses de trucs. Sachant que toi non plus, tu n'as pas de preuve de ce que tu avances, il faut donc te croire sur parole.
En effet, si ça se trouve tu as été agaçante avec le gendarme, tu lui as dis qu'il faisait de la police politique, peut-être même as-tu lâché des insultes: nous n'en savons absolument rien, nous ne faisons que te croire sans avoir vu (on est de beaux St Thomas

).
En bref: écris si tu le souhaites, mais que tu sois très solide dans ton argumentation.